Teori himpunan merupakan konsep dasar dalam pembahasan matematika diskrit
1.1 Definisi himpunan
- Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
- Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
- HIMATIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
1.2 Penyajian
A. Himpunan Enumerasi
Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang
bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanyasuatu
himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan
menggunakan simbol-simbol lainnya.
B. Contoh
- Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.
- Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}.
- Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang
mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan diketahui bahwa
sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan
satu sama lain, asalkan berbeda.
- contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer.
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } C = {a, {a}, {{a}} }
Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain.
- K={ }
Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }.
Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø.
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100}
Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tanda ellipsis(∞).
- Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
C. Keanggotaan
x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;
x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
misal, A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
maka, 1 ∈ A dan b ∉ A
D. Simbol-simbol Baku
Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,
antara lain:
P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}
N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}
Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya
merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang
universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U.
Himpunan U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U = {2, 4}
E. Notasi Pembentuk Himpunan
Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:
- Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan
- Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
- Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
- Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
A adalah himpunan bilangan asli
Daftar anggota: A={1,2,3,. . .}
Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }
F. Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
1.3 Kardinalitas
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau |A| , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.
B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen B adalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.
A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.
Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞.
1.4 Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi: Ø atau { }
Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0
Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.
1.5 Himpunan bagian (subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A ⊆ B
Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B A={1,2,3} B={1,2,3,4,5,7} C={1,2,4,5}
Jadi : * A ⊆ B * A bukan himpunan bagian C
1.6 Himpunan yang Sama
- Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
- A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
- Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
- Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b} Jadi, A=B
- tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:
1. urutan elemen dalam himpunan tidak penting.
jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}
2. pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1} {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}
3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:
- A = A, B = B, dan C=C
- Jika A = B,maka B
- Jika A = B, dan B = C maka A = C
1.7 Himpunan Ekivalen
- Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
- Notasi: A ~ B ↔ |A|=|B|
Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|
1.8 Himpunan Saling Lepas
- Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
- Notasi : A // B
- Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.
1.9 Himpunan Kuasa
- Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
- Notasi : P(A) atau 2A
- Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.
- Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
- Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.
1.10 Operasi Pada Himpunan
1. Irisan ( ∩ )
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}
2. Gabungan ( ∪ )
Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}
3. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }
Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}
4. Selisih
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.
Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}
5. Beda Setangkup
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)
Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka , A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }
6. Perkalian Kartesain
Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan
berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.
Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}
Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
Catatan:
1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|
2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.
4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅
0 komentar:
Posting Komentar